Le système décimal

Le système décimal ou système de base 10 est le système de numération le plus couramment utilisé dans la vie quotidienne. Il est basé sur 10 chiffres (de 0 à 9) et utilise un système de positions pour représenter les nombres.

Chaque position dans un nombre décimal représente une puissance de 10, ce qui en fait un système positionnel.

Les chiffres du système décimal

Le système décimal utilise 10 chiffres :

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Ces chiffres sont combinés pour former tous les nombres possibles.

Représentation positionnelle

Dans le système décimal, la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Chaque position correspond à une puissance de 10.

Exemple : le nombre

2547

2547= (2 \times 10^3) + (5 \times 10^2) + (4 \times 10^1) + (7 \times 10^0)

💥

Rappel :

\forall x \in {\rm I\!R} ; x^0 = 1

Décomposons :

2 est dans la position des milliers, soit $2 \times 10^3 = 2000$ ,

5 est dans la position des centaines, soit $5 \times 10^2 = 500$ ,

4 est dans la position des dizaines, soit $4 \times 10^1 = 40$ ,

7 est dans la position des unités, soit $7 \times 10^0 = 1$ .

Ainsi,

2547

est la somme des valeurs pondérées par les puissances de 10.

Base 2

Practice

Le système binaire

Le système binaire (ou base 2) est un système de numération qui utilise seulement deux chiffres : 0 et 1. Ce système est très utilisé en informatique et en électronique, car il correspond naturellement à deux états physiques :

0 → état bas (absence de courant, tension faible)

1 → état haut (présence de courant, tension élevée)

Dans le système binaire, chaque position représente une puissance de 2, au lieu des puissances de 10 comme dans notre système décimal.

Par exemple, en base 10 (décimal), le nombre 528 signifie :

5 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 8 \times 10^0

En base 2 (binaire), le nombre

1011

(qui se lit « 1-0-1-1 ») signifie :

1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 +1= 11_{10}

Operations

Practice

Conversion de la base 10 vers la base 2

Pour convertir un nombre décimal en binaire, on effectue une suite de divisions par 2 et on récupère les restes (0 ou 1). On arrange ensuite ces restes du dernier au premier (en remontant).

Exemple : Convertir 13 en binaire.

$13 \div 2 =6$ rest $1$

$6 \div 2 =3$ rest $0$

$3 \div 2 =1$ rest $1$

$1 \div 2 =0$ rest $1$

On lit les restes du bas vers le haut :

1101_2

.

Conversion de la base 2 vers la base 10

Pour convertir un nombre binaire en décimal, on multiplie chaque chiffre (0 ou 1) par la puissance de 2 correspondante et on additionne.

Exemple : Convertir

1101_2

en décimal.

1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 +1= 13_{10}